Giải và biện luận theo tham số m các phương trình sau :
a) \(\left|3x+2m\right|=x-m\)
b) \(\left|2x+m\right|=\left|x-2m+2\right|\)
c) \(mx^2+\left(2m-1\right)x+m-2=0\)
d) \(\dfrac{\sqrt{4x-2}}{2x-1}=m-1\)
Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m :
a) \(\left|2x-5m\right|=2x-3m\)
b) \(\left|3x+4m\right|=\left|4x-7m\right|\)
c) \(\left(m+1\right)x^2+\left(2m-3\right)x+m+2=0\)
d) \(\dfrac{x^2-\left(m+1\right)x-\dfrac{21}{4}}{x-3}=2x+m\)
a) \(\left|2x-5m\right|=2x-3m\)
Điều kiện có nghiệm của phương trình là: \(2x-3m\ge0\)\(\Leftrightarrow x\ge\dfrac{3m}{2}\). (1)
pt\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2x-5m=2x-3m\\2x-5m=-\left(2x-3m\right)\end{matrix}\right.\).
Th1. \(2x-5m=2x-3m\Leftrightarrow-5m=-3m\)\(\Leftrightarrow m=0\).
Thay \(m=0\) vào phương trình ta có: \(\left|2x\right|=2x\) (*)
Dễ thấy (*) có tập nghiệm là: \(\left[0;+\infty\right]\) (Thỏa mãn (1)).
Th2. \(2x-5m=-\left(2x-3m\right)\)\(\Leftrightarrow2x-5m=-2x+3m\)
\(\Leftrightarrow4x=8m\)\(\Leftrightarrow x=2m\).
Để \(x=2m\) là nghiệm của phương trình thì:
\(2m\ge\dfrac{3}{2}m\)\(\Leftrightarrow m\ge0\).
Biện luận:
Với m = 0 phương trình có tập nghiệm là: \(\left[0;+\infty\right]\).
Với \(m>0\) phương trình có nghiệm duy nhất \(x=2m\).
Với m < 0 phương trình vô nghiệm.
b)TXĐ: D = R
\(\left|3x+4m\right|=\left|4x-7m\right|\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}3x+4m=4x-7m\\3x+4m=-\left(4x-7m\right)\end{matrix}\right.\)
Th1. \(3x+4m=4x-7m\)\(\Leftrightarrow x=11m\)
Th2. \(3x+4m=-4x+7m\) \(\Leftrightarrow7x=3m\)\(\Leftrightarrow x=\dfrac{3m}{7}\).
Biện luận:
Với mọi giá trị \(m\in R\) phương trình luôn có hai nghiệm:
\(x=11m\) hoặc \(x=\dfrac{3m}{7}\).
c) Th1: \(m+1=0\)\(\Leftrightarrow m=-1\).
Thay \(m=-1\) vào phương trình ta được:
\(-5x+1=0\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{5}\).
Th2: \(m+1\ne0\)\(\Leftrightarrow m\ne-1\)
\(\Delta=\left(2m-3\right)^2-4\left(m+1\right)\left(m+2\right)=-24m+1\).
- \(\Delta=0\)\(\Leftrightarrow-24m+1=0\)\(\Leftrightarrow m=\dfrac{1}{24}\). Khi đó phương trình có nghiệm kép:
\(x_1=x_2=\dfrac{-\left(2m-3\right)}{2\left(m+1\right)}=-\dfrac{2.\dfrac{1}{24}-3}{2.\left(\dfrac{1}{24}+1\right)}=-\dfrac{7}{5}\).
- \(\Delta< 0\)\(\Leftrightarrow-24m+1< 0\)\(\Leftrightarrow m>\dfrac{1}{24}\). Khi đó phương trình vô nghiệm.
- \(\Delta>0\Leftrightarrow m< \dfrac{1}{24}\). Khi đó phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\(x_1=\dfrac{-\left(2m-3\right)+\sqrt{-24m+1}}{2\left(m+1\right)}\)
\(x_2=\dfrac{-\left(2m-3\right)-\sqrt{-24m+1}}{2\left(m+1\right)}\).
Biện luận:
- Với \(m=-1\) phương trình có duy nhất nghiệm \(x=\dfrac{1}{5}\).
- Với \(m=\dfrac{1}{24}\) phương trình có nghiệm kép: \(x_1=x_2=-\dfrac{7}{5}\).
- Với \(m>\dfrac{1}{24}\) phương trình vô nghiệm.
- Với \(m< \dfrac{1}{24}\) phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\(x_1=\dfrac{-\left(2m-3\right)+\sqrt{-24m+1}}{2\left(m+1\right)}\); \(x_1=\dfrac{-\left(2m-3\right)-\sqrt{-24m+1}}{2\left(m+1\right)}\).
Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m :
a. \(m\left(x-2\right)=3x+1\)
b. \(m^2x+6=4x+3m\)
c. \(\left(2m+1\right)x-2m=3x-2\)
a) ⇔ (m – 3)x = 2m + 1.
Nếu m ≠ 3 phương trình có nghiệm duy nhất x = . Nếu m = 3 phương trình trở thành 0x = 7. Vô nghiệm.b) ⇔ (m2 – 4)x = 3m – 6.
Nếu m2 – 4 ≠ 0 ⇔ m ≠ ± 2, có nghiệm x = . Nếu m = 2, phương trình trở thành 0x = 0, mọi x ∈ R đều nghiệm đúng phương trình. Nếu m = -2, phương trình trở thành 0x = -12. Vô nghiệm.c) ⇔ 2(m – 1)x = 2(m-1).
Nếu m ≠ 1 có nghiệm duy nhất x = 1. Nếu m = 1 mọi x ∈ R đều là nghiệm của phương trình.
Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m :
a) \(2m\left(x-2\right)+4=\left(3-m^2\right)x\)
b) \(\dfrac{\left(m+3\right)x}{2x-1}=3m+2\)
c) \(\dfrac{8mx}{x+3}=\left(4m+1\right)x+1\)
d) \(\dfrac{\left(2-m\right)x}{x-2}=\left(m-1\right)x-1\)
a) \(2m\left(x-2\right)+4=\left(3-m^2\right)x\)
\(\Leftrightarrow x\left(m^2+2m-3\right)=4m-4\)
Xét \(m^2+2m-3=0\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=1\\m=-3\end{matrix}\right.\).
Với \(m=1\) thay vào phương trình ta được:
\(0x=0\) luôn nghiệm đúng \(\forall x\in R\).
Với \(m=-3\) thay vào phương trình ta được:
\(0x=4.\left(-3\right)-4\)\(\Leftrightarrow0x=-16\) phương trình vô nghiệm.
Xét \(m^2+2m-3\ne0\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne1\\m\ne-3\end{matrix}\right.\).
Khi đó phương trình có nghiệm duy nhất: \(x=\dfrac{4}{m+3}\).
Biện luận:
Với m = 1 phương trình nghiệm đúng với mọi x thuộc R.
Với m = -3 hệ vô nghiệm.
Với \(\left\{{}\begin{matrix}m\ne1\\m\ne-3\end{matrix}\right.\) phương trình có nghiệm duy nhất là: \(x=\dfrac{4}{m+3}\).
b) Đkxđ: \(x\ne\dfrac{1}{2}\).
\(pt\Leftrightarrow\left(m+3\right)x=\left(2x-1\right)\left(3m+2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(5m+1\right)x=3m+2\). (*)
Xét \(5m+1=0\Leftrightarrow m=\dfrac{-1}{5}\) thay vào phương trình ta có:
\(0x=\dfrac{7}{5}\) phương trình vô nghiệm.
Xét \(5m+1\ne0\Leftrightarrow m\ne\dfrac{-1}{5}\).
Khi đó (*) có nghiệm là: \(x=\dfrac{3m+2}{5m+1}\).
Để \(x=\dfrac{3m+2}{5m+1}\) là nghiệm của phương trình thì:
\(x=\dfrac{3m+2}{5m+1}\ne\dfrac{1}{2}\)\(\Leftrightarrow2\left(3m+2\right)\ne5m+1\)\(\Leftrightarrow m\ne-3\).
Biện luận:
Với \(m=-\dfrac{1}{5}\) hoặc \(m=-3\) phương trình vô nghiệm.
Với \(\left\{{}\begin{matrix}m\ne-\dfrac{1}{5}\\m\ne-3\end{matrix}\right.\) phương trình có nghiệm duy nhất là: \(x=\dfrac{3m+2}{5m+1}\).
Giải và biện luận theo tham số m các phương trình sau :
a) \(m\left(m-6\right)x+m=-8x+m^2-2\)
b) \(\dfrac{\left(m-x\right)x+3}{x+1}=2m-1\)
c) \(\dfrac{\left(2m+1\right)x-m}{x-1}=x+m\)
d) \(\dfrac{\left(3m-2\right)x-5}{x-m}=-3\)
a) \(m\left(m-6\right)x+m=-8x+m^2-2\)
\(\Leftrightarrow x\left(m^2-6m+8\right)=m^2-m-2\)
- Xét \(m^2-6m+8=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=4\\m=2\end{matrix}\right.\)
Th1. Thay \(m=4\) vào phương trình ta có:
\(0.x=10\) (vô nghiệm)
Th2. Thay \(m=2\) vào phương trình ta có:
\(0.x=0\) (luôn đúng với mọi \(x\in R\))
- Xét: \(m^2-6m+8\ne0\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne4\\m\ne2\end{matrix}\right.\)
Khi đó phương trình có nghiệm duy nhất là:
\(x=\dfrac{m^2-m-2}{m^2-6m+8}\)
Biện luận:
- \(m=4\) phương trình vô nghiệm.
- \(m=2\) phương trình luôn có nghiệm.
- \(m\ne4\) và \(m\ne2\) phương trình có nghiệm duy nhất là:
\(x=\dfrac{m^2-m-2}{m^2-6m+8}\)
b) Đkxđ: \(x\ne-1\)
\(\dfrac{\left(m-x\right)x+3}{x+1}=2m-1\)\(\Leftrightarrow\left(m-x\right)x+3=\left(2m-1\right)\left(x+1\right)\) \(\Leftrightarrow-x^2+x\left(1-m\right)+4-2m=0\) (*)
Xét (*) có nghiệm \(x=-1\) .
Khi đó: \(-\left(-1\right)^2+\left(-1\right)\left(1-m\right)+4-2m=0\)\(\Leftrightarrow m=2\)
Xét \(m=2\) thay vào phương trình ta có:
\(\dfrac{\left(2-x\right)x+3}{x+1}=2.2-1\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-x^2+2x+3=0\\x\ne-1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}x=-1\\x=3\end{matrix}\right.\\x\ne-1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x=3\)
Vậy với m = 2 thì phương trình có nghiệm x = 3.
Xét \(m\ne2\)
\(\Delta=\left(1-m\right)^2-4.\left(-1\right).\left(4-2m\right)=\)\(m^2-10m+17\)
Nếu \(\Delta=0\Leftrightarrow m^2-10m+17=0\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=5+2\sqrt{2}\\m=5-2\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)
Phương trình có nghiệm kép:
\(x_1=x_2=\dfrac{1-m}{2}=\dfrac{1-\left(5+2\sqrt{2}\right)}{2}=-2-\sqrt{2}\left(\ne-1\right)\) nếu \(m=5+2\sqrt{2}\).
\(x_1=x_2=\dfrac{1-m}{2}=\dfrac{1-\left(5-2\sqrt{2}\right)}{2}=-2+\sqrt{2}\left(\ne-1\right)\) nếu \(m=5-2\sqrt{2}\).
Nếu \(\Delta>0\Leftrightarrow m^2-10m+17>0\)\(\Leftrightarrow\left(m-5+2\sqrt{2}\right)\left(m-5-2\sqrt{2}>0\right)\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m>5+2\sqrt{2}\\m< 5-2\sqrt{2}\end{matrix}\right.\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt là:
\(x_1=\dfrac{-\left(1-m\right)+\sqrt{m^2-10m+17}}{-2}\)
\(x_1=\dfrac{-\left(1-m\right)-\sqrt{m^2-10m+17}}{-2}\)
Biện luận:
Nếu \(\Delta< 0\Leftrightarrow5-2\sqrt{2}< m< 5+2\sqrt{2}\) thì phương trình vô nghiệm.
Biện luận:
Với \(m=5-2\sqrt{2}\) thì phương trình có nghiệm kép là:
\(x_1=x_2=\dfrac{1-m}{2}=\dfrac{1-\left(5-2\sqrt{2}\right)}{2}=-2+\sqrt{2}\)
Với \(m=5-2\sqrt{2}\) thì phương trình có nghiệm kép là:
\(x_1=x_2=\dfrac{1-m}{2}=\dfrac{1-\left(5+2\sqrt{2}\right)}{2}=-2-\sqrt{2}\)
Với m = 2 thì phương trình có duy nhất nghiệm là: x = 3
Với \(m>5+2\sqrt{2}\) hoặc \(m< 5-2\sqrt{2}\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\(x_1=\dfrac{-\left(1-m\right)+\sqrt{m^2-10m+17}}{-2}\);
\(x_1=\dfrac{-\left(1-m\right)-\sqrt{m^2-10m+17}}{-2}\)
Với \(5-2\sqrt{2}< m< 5+2\sqrt{2}\) và \(m\ne2\) thì phương trình vô nghiệm.
c) Đkxđ: \(x\ne1\)
\(\dfrac{\left(2m+1\right)x-m}{x-1}=x+m\)
\(\Rightarrow\left(2m+1\right)x-m=\left(x+m\right)\left(x-1\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2-x\left(2+m\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x\left[x-\left(2+m\right)\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=2+m\end{matrix}\right.\)
Phương trình luôn có một \(x=0\).
Để \(x=2+m\) là một nghiệm của phương trình thì:
\(2+m\ne1\Leftrightarrow m\ne-1\).
Biện luận:
\(m=-1\) phương trình có một nghiệm x = 0.
\(m\ne-1\) phương trình có hai nghiệm: \(x=0\) và \(x=2+m\).
1. Giải các phương trình sau:
a) \(\cos\left(x+15^0\right)=\dfrac{2}{5}\)
b) \(\cot\left(2x-10^0\right)=4\)
c) \(\cos\left(x+12^0\right)+\sin\left(78^0-x\right)=1\)
2. Định m để các phương trình sau có nghiệm:
\(\sin\left(3x-27^0\right)=2m^2+m\)
c.
\(\Leftrightarrow cos\left(x+12^0\right)+cos\left(90^0-78^0+x\right)=1\)
\(\Leftrightarrow2cos\left(x+12^0\right)=1\)
\(\Leftrightarrow cos\left(x+12^0\right)=\dfrac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+12^0=60^0+k360^0\\x+12^0=-60^0+k360^0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=48^0+k360^0\\x=-72^0+k360^0\end{matrix}\right.\)
2.
Do \(-1\le sin\left(3x-27^0\right)\le1\) nên pt có nghiệm khi:
\(\left\{{}\begin{matrix}2m^2+m\ge-1\\2m^2+m\le1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2m^2+m+1\ge0\left(luôn-đúng\right)\\2m^2+m-1\le0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow-1\le m\le\dfrac{1}{2}\)
a.
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x+15^0=arccos\left(\dfrac{2}{5}\right)+k360^0\\x+15^0=-arccos\left(\dfrac{2}{5}\right)+k360^0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-15^0+arccos\left(\dfrac{2}{5}\right)+k360^0\\x=-15^0-arccos\left(\dfrac{2}{5}\right)+k360^0\end{matrix}\right.\)
b.
\(2x-10^0=arccot\left(4\right)+k180^0\)
\(\Rightarrow x=5^0+\dfrac{1}{2}arccot\left(4\right)+k90^0\)
2.
Phương trình \(sin\left(3x-27^o\right)=2m^2+m\) có nghiệm khi:
\(2m^2+m\in\left[-1;1\right]\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2m^2+m\le1\\2m^2+m\ge-1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left(m+1\right)\left(2m-1\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow-1\le m\le\dfrac{1}{2}\)
Giải và biện luận sau
a \(x^2-2.\left(1+3m\right)x-m^2=0\)
b, \(2m^2x^2-3x-1=0\)
c, \(mx^2-2.\left(m+1\right)x-2m=0\)
Tìm m để hai phương trình sau có nghiệm chung
a \(2x^2+\left(3m-1\right)x-3=0\) và \(6x^2-\left(2m-1\right)x-1=0\)
b \(x^2-mx+2m+1=0\) và \(mx^2-\left(2m+1\right)x-1=0\)
câu a
Gọi x0 là nghiệm chung của PT(1) và (2)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x^2_0+\left(3m-1\right)x_0-3=0\left(\times3\right)\\6.x^2_0-\left(2m-1\right)x_0-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}6x^2_0+3\left(3m-1\right)x_0-9=0\left(1\right)\\6x^2_0-\left(2m-1\right)x_0-1=0\left(2\right)\end{matrix}\right.\) Lấy (1)-(2) ,ta được
PT\(\Leftrightarrow3\left(3m-1\right)-9+\left(2m-1\right)+1\)=0
\(\Leftrightarrow9m-3-9+2m-1+1=0\Leftrightarrow11m-12=0\)
\(\Leftrightarrow m=\dfrac{12}{11}\)
Bài 1: Tìm m để 2 phương trình có nghiệm tương đương vơi nhau
2x+3 = 0 và (2x +3)(mx-1) = 0
Bài 2: Giải và biện luận phương trình (m là hằng số)
\(\frac{m^2\left(\left(x+2\right)^2-\left(x-2\right)^2\right)}{8}-4x=\left(m-1\right)^2+3\left(2m+1\right)\)1)
Bài 3: Tìm các giá trị của hằng số a để phương trình vô nghiệm
\(\frac{a\left(3x-1\right)}{5}-\frac{6x-17}{4}+\frac{3x+2}{10}=0\)
Bài 4: Giải và biện luận phương trình (m là hằng số)
a) \(\frac{mx+5}{10}+\frac{x+m}{4}=\frac{m}{20}\)
b) \(\frac{x-4m}{m+1}+\frac{x-4}{m-1}=\frac{x-4m-3}{m^2-1}\)
HELP!!!!!!!!!!!!!!!!!!! >^<
giải và biện luận các phương trình sau
a, \(\frac{mx+5}{10}+\frac{x+m}{4}=\frac{m}{20}\)
b, \(\left(m+2\right)x+4\left(2m+1\right)=m^2+4\left(m-1\right)\)
trong đó x là ẩn , m,a,b là tham số
a. \(\frac{mx+5}{10}\)+ \(\frac{x+m}{4}\)=\(\frac{m}{20}\)
\(\frac{2mx+10}{20}\)+ \(\frac{5x+5m}{20}\)=\(\frac{m}{20}\)
2mx +10 + 5x +5m =m
x(2m+5)= -4m -10(1)
* 2m+5= 0 => m=-5/2
(1)<=> 0x=0 vậy phương trình 1 vô số nghiệm
* 2m+5 \(\ne\)0=> m\(\ne\)-5/2
pt (1)có nghiệm duy nhất là x= -2(2m+5): (2m+5)=-2
vậy với m=-5/2 phương trình đã cho vô số nghiệm
m\(\ne\)-5/2 phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x=-2
b.(m+2)x+ 4(2m+1)= \(m^2\)+4(m-1)
(m+2)x= \(m^2\)+ 4m-4-8m -4
(m+2)x=\(m^2\)-4m-8(1)
* với m+2=0 => m=-2
pt(1)<=> 0x=4
vậy phương trinh đã cho vô nghiệm
* với m+2\(\ne\)0=> m\(\ne\)-2
phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x=( \(m^2\)-4m-8):(m-2)